Алексей Игоревич Барабаш окончил факультет искусств Санкт-Петербургского Гуманитарного университета профсоюзов в 1997 году. Учился у народного артиста России, профессора З.Я. Корогодского (1926 - 2004) - легендарного театрального педагога и режиссера, который с 1993 по 2004 год возглавлял кафедру режиссуры и актерского искусства Университета. Выбор будущей профессии и вуза, был для Алексея не случайным: его бабушка Галина Францевна Русецкая была актрисой в театре комедии им. Н.П. Акимова и хорошо знала многих педагогов факультета искусств СПбГУП.
По окончании вуза Алексей Барабаш был зачислен в труппу Театра юного зрителя. Участвовал в спектаклях Театра-фестиваля «Балтийский дом». С 2000 года снимается в кино. Работал у таких известных режиссеров, как Евгений Татарский, Сергей Бодров, Александр Прошкин, Дмитрий Месхиев, Александр Сокуров, Виктор Мережко. В разные годы партнерами А. Барабаша на съемочной площадке были Олег Янковский, Виктор Сухоруков и др.
10 октября 2013 года прошла масштабная премьера фильма Федора Бондарчука «Сталинград», в котором Алексей снялся в одной из главных ролей - в роли Никифорова.
Анонсируя премьеру нового сериала газете «Комсомольская правда», продюсер фильма Наталия Клибанова сказала: «Валерий Ободзинский был популярен в СССР, как Элвис Пресли в США. Миллионы поклонниц сходили с ума от его хитов, или, как тогда говорили, шлягеров «Эти глаза напротив» и «Восточная песня». Алексея мы увидели в фильме «Сталинград», поняли: «Вот он, наш Ободзинский!» И после проб режиссер фильма Сергей Комаров меня поддержал. Артист не был красавцем, но когда начинал петь, женщины сходили с ума. Через телевизор сложно передать энергетику зала, поэтому мы хотели, чтобы герой казался обаятельным еще до того, как начнет петь. У Леши это качество, безусловно, есть».