А. Барабаш окончил СПбГУП в 1997 году. Учился у народного артиста России, профессора З.Я. Корогодского (1926 - 2004) - легендарного театрального педагога и режиссера, который с 1993 по 2004 год возглавлял кафедру режиссуры и актерского искусства Университета. Выбор будущей профессии и вуза, был для Алексея не случайным: его бабушка Галина Францевна Русецкая была актрисой в театре комедии им. Н.П. Акимова и хорошо знала многих педагогов факультета искусств СПбГУП.
По окончании вуза Алексей Барабаш был зачислен в труппу Театра юного зрителя. Участвовал в спектаклях Театра-фестиваля «Балтийский дом». С 2000 года снимается в кино. Работал у таких известных режиссеров, как Евгений Татарский, Сергей Бодров, Александр Прошкин, Дмитрий Месхиев, Александр Сокуров, Виктор Мережко. В разные годы партнерами А. Барабаша на съемочной площадке были Олег Янковский, Виктор Сухоруков и др.
10 октября 2013 года прошла масштабная премьера фильма Федора Бондарчука «Сталинград», в котором Алексей снялся в одной из главных ролей - в роли Никифорова.
Картина «Чистое искусство» повествует о невероятной истории известного фотографа, которая становится свидетелем убийства своего возлюбленного и попадает в круговорот загадочных событий, происходящих вокруг больших денег и произведений искусства. Главная героиня оказывается мишенью как охотников за наживой, так и полиции, но не сдается и ведет встречную игру против врага, параллельно расследуя тайну.
Премьера состоится 9 июня 2016 года.
